Необходимо ли Интернет соединение на прослеживаемом телефоне для нормальной работы AndroidMonitor?

Да, в целом.

AndroidMonitor загрузит все данные с мобильного телефона в вашу Частную Зону, прослеживаемый телефон должен быть подключен к Интернету только когда происходит данная операция. В остальное время Интернет соединения не нужно.